Matematica discreta Esempi

$24 c^{2} (2 c - 7) = - 35 (2 c - 7) - 58 c (2 c - 7)$

Passaggio 1

Poiché $c$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- 35 (2 c - 7) - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Passaggio 2

Semplifica $- 35 (2 c - 7) - 58 c (2 c - 7)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 35 (2 c) - 35 \cdot - 7 - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 35$ .

$- 70 c - 35 \cdot - 7 - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $- 35$ per $- 7$ .

$- 70 c + 245 - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Passaggio 2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$- 70 c + 245 - 58 c (2 c) - 58 c \cdot - 7 = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Passaggio 2.1.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 c \cdot c - 58 c \cdot - 7 = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Passaggio 2.1.6

Moltiplica $- 7$ per $- 58$ .

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 c \cdot c + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Passaggio 2.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Moltiplica $c$ per $c$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1.1

Sposta $c$ .

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 (c \cdot c) + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Passaggio 2.1.7.1.2

Moltiplica $c$ per $c$ .

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 c^{2} + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Passaggio 2.1.7.2

Moltiplica $- 58$ per $2$ .

$- 70 c + 245 - 116 c^{2} + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Passaggio 2.2

Somma $- 70 c$ e $406 c$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Passaggio 3

Semplifica $24 c^{2} (2 c - 7)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 c^{2} (2 c) + 24 c^{2} \cdot - 7$

Passaggio 3.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{2} c + 24 c^{2} \cdot - 7$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica $- 7$ per $24$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{2} c - 168 c^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica $c^{2}$ per $c$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Sposta $c$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 (c \cdot c^{2}) - 168 c^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $c$ per $c^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Eleva $c$ alla potenza di $1$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 (c^{1} c^{2}) - 168 c^{2}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{1 + 2} - 168 c^{2}$

Passaggio 3.2.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{3} - 168 c^{2}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $24$ per $2$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 48 c^{3} - 168 c^{2}$

Passaggio 4

Sposta tutti i termini contenenti $c$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Sottrai $48 c^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$336 c + 245 - 116 c^{2} - 48 c^{3} = - 168 c^{2}$

Passaggio 4.2

Somma $168 c^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$336 c + 245 - 116 c^{2} - 48 c^{3} + 168 c^{2} = 0$

Passaggio 4.3

Somma $- 116 c^{2}$ e $168 c^{2}$ .

$336 c + 245 - 48 c^{3} + 52 c^{2} = 0$

Passaggio 5

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 5.1

Riordina i termini.

$- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 5.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 245, \pm 5, \pm 49, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

Passaggio 5.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.0208\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.041\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.0625, \pm 0.25, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.125, \pm 245, \pm 5.1041\overline{6}, \pm 122.5, \pm 10.208\overline{3}, \pm 81.\overline{6}, \pm 15.3125, \pm 61.25, \pm 20.41\overline{6}, \pm 40.8\overline{3}, \pm 30.625, \pm 5, \pm 0.1041\overline{6}, \pm 2.5, \pm 0.208\overline{3}, \pm 1.\overline{6}, \pm 0.3125, \pm 1.25, \pm 0.41\overline{6}, \pm 0.8\overline{3}, \pm 0.625, \pm 49, \pm 1.0208\overline{3}, \pm 24.5, \pm 2.041\overline{6}, \pm 16.\overline{3}, \pm 3.0625, \pm 12.25, \pm 4.08\overline{3}, \pm 8.1\overline{6}, \pm 6.125, \pm 7, \pm 0.1458\overline{3}, \pm 3.5, \pm 0.291\overline{6}, \pm 2.\overline{3}, \pm 0.4375, \pm 1.75, \pm 0.58\overline{3}, \pm 1.1\overline{6}, \pm 0.875, \pm 35, \pm 0.7291\overline{6}, \pm 17.5, \pm 1.458\overline{3}, \pm 11.\overline{6}, \pm 2.1875, \pm 8.75, \pm 2.91\overline{6}, \pm 5.8\overline{3}, \pm 4.375$

Passaggio 5.2.3

Sostituisci $- 1.25$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1.25$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 5.2.3.1

Sostituisci $- 1.25$ nel polinomio.

$- 48 {(- 1.25)}^{3} + 52 {(- 1.25)}^{2} + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Passaggio 5.2.3.2

Eleva $- 1.25$ alla potenza di $3$ .

$- 48 \cdot - 1.953125 + 52 {(- 1.25)}^{2} + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Passaggio 5.2.3.3

Moltiplica $- 48$ per $- 1.953125$ .

$93.75 + 52 {(- 1.25)}^{2} + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Passaggio 5.2.3.4

Eleva $- 1.25$ alla potenza di $2$ .

$93.75 + 52 \cdot 1.5625 + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Passaggio 5.2.3.5

Moltiplica $52$ per $1.5625$ .

$93.75 + 81.25 + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Passaggio 5.2.3.6

Somma $93.75$ e $81.25$ .

$175 + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Passaggio 5.2.3.7

Moltiplica $336$ per $- 1.25$ .

$175 - 420 + 245$

Passaggio 5.2.3.8

Sottrai $420$ da $175$ .

$- 245 + 245$

Passaggio 5.2.3.9

Somma $- 245$ e $245$ .

$0$

Passaggio 5.2.4

Poiché $- 1.25$ è una radice nota, dividi il polinomio per $4 c + 5$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245}{4 c + 5}$

Passaggio 5.2.5

Dividi $- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245$ per $4 c + 5$ .

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Passaggio 5.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$4 c$

$5$

$48 c^{3}$

$52 c^{2}$

$336 c$

$245$

Passaggio 5.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 48 c^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 c$ .

				-	$12 c^{2}$
	$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$

Passaggio 5.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			-	$48 c^{3}$	-	$60 c^{2}$

Passaggio 5.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 48 c^{3} - 60 c^{2}$

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$

Passaggio 5.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$

Passaggio 5.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$

Passaggio 5.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $112 c^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 c$ .

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$

Passaggio 5.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					+	$112 c^{2}$	+	$140 c$

Passaggio 5.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $112 c^{2} + 140 c$

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$

Passaggio 5.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$

Passaggio 5.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$

Passaggio 5.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $196 c$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 c$ .

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$

Passaggio 5.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$
							+	$196 c$	+	$245$

Passaggio 5.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $196 c + 245$

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$
							-	$196 c$	-	$245$

Passaggio 5.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$
							-	$196 c$	-	$245$
										$0$

Passaggio 5.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- 12 c^{2} + 28 c + 49$

Passaggio 5.2.6

Scrivi $- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245$ come insieme di fattori.

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} + 28 c + 49) = 0$

Passaggio 5.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 12 \cdot 49 = - 588$ e la cui somma è $b = 28$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1.1

Scomponi $28$ da $28 c$ .

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} + 28 (c) + 49) = 0$

Passaggio 5.3.1.1.2

Riscrivi $28$ come $- 14$ più $42$ .

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} + (- 14 + 42) c + 49) = 0$

Passaggio 5.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} - 14 c + 42 c + 49) = 0$

Passaggio 5.3.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(4 c + 5) ((- 12 c^{2} - 14 c) + 42 c + 49) = 0$

Passaggio 5.3.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(4 c + 5) (2 c (- 6 c - 7) - 7 (- 6 c - 7)) = 0$

Passaggio 5.3.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 6 c - 7$ .

$(4 c + 5) ((- 6 c - 7) (2 c - 7)) = 0$

Passaggio 5.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(4 c + 5) (- 6 c - 7) (2 c - 7) = 0$

Passaggio 6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 c + 5 = 0$

$- 6 c - 7 = 0$

$2 c - 7 = 0$

Passaggio 7

Imposta $4 c + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $4 c + 5$ uguale a $0$ .

$4 c + 5 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $4 c + 5 = 0$ per $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 c = - 5$

Passaggio 7.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 c = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 c = - 5$ .

$\frac{4 c}{4} = \frac{- 5}{4}$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 c}{4} = \frac{- 5}{4}$

Passaggio 7.2.2.2.1.2

Dividi $c$ per $1$ .

$c = \frac{- 5}{4}$

Passaggio 7.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$c = - \frac{5}{4}$

Passaggio 8

Imposta $- 6 c - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta $- 6 c - 7$ uguale a $0$ .

$- 6 c - 7 = 0$

Passaggio 8.2

Risolvi $- 6 c - 7 = 0$ per $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 6 c = 7$

Passaggio 8.2.2

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 c = 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 c = 7$ .

$\frac{- 6 c}{- 6} = \frac{7}{- 6}$

Passaggio 8.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 6 c}{- 6} = \frac{7}{- 6}$

Passaggio 8.2.2.2.1.2

Dividi $c$ per $1$ .

$c = \frac{7}{- 6}$

Passaggio 8.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$c = - \frac{7}{6}$

Passaggio 9

Imposta $2 c - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Imposta $2 c - 7$ uguale a $0$ .

$2 c - 7 = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi $2 c - 7 = 0$ per $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 c = 7$

Passaggio 9.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 c = 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 c = 7$ .

$\frac{2 c}{2} = \frac{7}{2}$

Passaggio 9.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 c}{2} = \frac{7}{2}$

Passaggio 9.2.2.2.1.2

Dividi $c$ per $1$ .

$c = \frac{7}{2}$

Passaggio 10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 c + 5) (- 6 c - 7) (2 c - 7) = 0$ vera.

$c = - \frac{5}{4}, - \frac{7}{6}, \frac{7}{2}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$c = - \frac{5}{4}, - \frac{7}{6}, \frac{7}{2}$

Forma decimale:

$c = - 1.25, - 1.1\overline{6}, 3.5$

Forma numero misto:

$c = - 1 \frac{1}{4}, - 1 \frac{1}{6}, 3 \frac{1}{2}$